Svaki konvergentan niz je omeđen. Korolar 1. Svaki neomeđen niz je divergentan. Zaključimo da se kod nizova pojavljuju dva osnovna problema: 1. za zadani niz odrediti da li je konvergentan ili nije, 2. ako je niz konvergentan, naći mu limes.

LIMESI. Limes niza. Definicija 1. Niz (an) realnih brojeva je konvergentan ako postoji realni broj a takav da niz (an) teži broju a kada n neograničeno raste. kad.

∑ i = 1 ∞ x i . {\displaystyle \sum \limits _ {i=1}^ {\infty }x_ {i}.} ako je niz parcijalnih suma konvergentan, takođe se koristi notacija beskonačne sume za njegov limes. Za detaljnije objašnjenje videti članak red . Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine: Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja Konvergentan niz je ograničen Apsolutno konvergentan niz je onaj kod kojeg dužina linije, koja je nastala spajanjem svih prirasta na parcijalnu sumu, je konačno duga.

Podse´canje: Ta ckaˇ a je tacka Theorema 1.2 U metrickˇ om prostoru, svaki konvergentan niz je ogranicen.ˇ Theorema 1.3 U skupu realnih brojeva, konvergentan niz ima jedistvenu granicnuˇ vrednost. Theorema 1.4 Ako za nizove realnih brojeva an, n2N, bn, n2N i cn, n2N važi 8n2N; an bn cn, tada lim n!¥ an = lim n!¥ cn = p2R) lim n!¥ bn = p: Niz (d(x n;a)) n je konvergentan niz realnih brojeva, te je ograni cen. Stoga postoji neki broj C > 0, tako da za svako n 2N va zi d(a;x n) C. Ovim je pokazana ograni cenost niza (x n) nu metri ckom prostoru X. Teorema 1.1.3. Niz (x n) n u metri ckom prostoru Xne mo ze konvergirati dvema razli citim ta ckama. konvergentnih nizova je konvergentan niz sa granicom koja je jednaka zbiru k graniqnih vrednostiovihnizova. 3.

nije konvergentan. Primetimonajpredaje a2k= sin kπ= 0, a4k+1 = sin (4k+1)π 2 = sin (π 2 +2kπ) = 1, a4k+3 = sin (4k+3)π 2 = sin (3π 2 +2kπ) = −1, k∈ N. Za svaki broj a∈ R van njegove ϵ-okoline, gde je 0 <ϵ<1, nalazi se beskonaˇcno mnogo elemenata niza, i zato anije graniˇcna vrednost niza (an). Primetimo da ovaj niz nema graniˇcnu vrednost.

Theorema 1.4 Ako za nizove realnih brojeva an, n2N, bn, n2N i cn, n2N važi 8n2N; an bn cn, tada lim n!¥ an = lim n!¥ cn = p2R) lim n!¥ bn = p: xn = a ∈ R, kaˇzemo da niz (xn) konvergira ka a ili da teˇzi ka a, kada n teˇzi u beskonaˇcnost. Dakle, numeriˇcki niz (an)n∈N je konvergentan ako i samo ako postoji lim n→+∞ xn = a ∈ R. Kasnije ´cemo vidjeti da je mogu´ce utvrditi da je niz konvergentan, a da … Da, jer je konvergentan niz ograniqen (teorema sa predavaa).

Općenito se može reći da prvih nekoliko članova niza ne određuje niz, jer odgovor na Svaki monoton i omeđen niz ima limes (tj. konvergentan je). Na primjer

Niz (an) je divergentan ako nije divergentan. Na primjer, niz a n = n n+1 je konvergentan i njegov limes je 1, dok je niz a n = (1)n divergentan. U sljede´cim tvrdnjama prisjetit ´cemo se osnovnih svojstava konvergentnih nizova.

Na … Tada je za bilo koje λ, μ ∈ R niz (λa n + μb n) n konvergentan i lim n →∞ (λa n + μb n) = λa + μb. Dokaz: Za bilo koji λ ∈ R uzmimo konstantni niz b n = λ, ∀ n ∈ N. Tada iz teorema 2.4 2. slijedi lim n →∞ λa n = λa. Odatle i iz aditivnosti limesa imamo linearnost. Napomena 2.1.
Sl planera

Kazemo da niz realnih brojeva {an} ima limes L ∈ R ako za svaki ε > 0 postoji n0 ∈ N takav da n > n0 Svaki Cauchyev niz realnih brojeva je konvergentan. Definicija Dati red konvergira ako je niz egovih parcijalnih suma konvergentan, a divergira ako niz parcijalnih suma nije konvergentan.

Dokaz. 9.
Bilnummer ägare gratis

svensk domstol ordlista
var ligger mittuniversitetet
köpt bostadsrätt med fuktskada
länsförsäkringar kontor
statistiskt signifikant
statistiskt signifikant

Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine: Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja Konvergentan niz je ograničen

Ograniˇ cen niz (a n) n u R je konvergentan ako i samo ako je lim inf n →∞ a n = lim sup n →∞ a n. 32 2. NIZOVI U R I C Dokaz: Ako je niz ( a n ) n konvergentan, onda je po teoremu 2.2 . svaki njegov podniz ima istu graniˇ cnu vrijednost kao i niz, pa je skup svih gomiliˇ sta niza jednoˇ clan.

Pro-medica
fakta adele dan sam smith

an = a i kazemo da je niz konvergentan ili da konvergira ka a. U slucaju da a = ± ∞ ili da granicna vrednost ne postoji, kazemo da niz {an}n∈N divergira.

S n = ∑ k = 1 n a k . {\displaystyle S_ {n}=\sum _ {k=1}^ {n}a_ {k}.} konvergentan; Drugim rečima, on približava određeni broj.